Методическая разработка урока математики по теме: "Элементы комбинаторики"
Цели занятия.
Создать условия для:
Знакомства обучающихся с новым разделом математики: "Комбинаторика", применения основных понятий элементов комбинаторики при решении задач, использования комбинаторных навыков в практических целях и в жизни человека, опираясь на математические подсчеты.
Развития у обучающихся умения решать комбинаторные задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам, практических навыков и умений, аналитических способностей, логического мышления.
Формирования активности личности обучающегося, умения работать в группе, дл привития интереса обучающихся к данной науке, понимания того, что решения комбинаторных задач возникли из практических потребностей человека.
Тип урока: комбинированный
Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация, тесты, учебники математики Н.В. Богомолов..
Технологическая карта урока:
Этапы урока
|
Деятельность
преподавателя
|
Деятель-ность обучаю-щихся
|
Органи-зационный момент.
|
Взаимное приветствие преподавателя и обучающихся.
Проверка отсутствующих.
|
|
Постановка целей урока.
|
Настроить на позитив.
Математику, физику и психологу задают одну и ту же задачу:
"Монету бросили 100 раз, и все 100 раз выпала решка.
Что выпадет в 101-ый раз?"
Математик:"С вероятностью 1/2 выпадет орёл"
Физик: "Эксперимент показал, что должна выпасть решка"
Психолог: "Выпадет орёл".
Математик с физиком: "Но почему?"
-Ну, как же, всё решка да решка! Орлу ведь тоже хочется!
Задаёт вопросы обучающимся:
Знакома ли вам тема урока? Какую цель можно поставить? (знакомство с новой темой, применение на практике и в жизни человека)
|
Слушают преподава-теля, проявляют интерес.
Цель формули-руют обучаю-
щиеся.
|
Актуали-зация знаний.
|
Разминка
Итак, начнем наш урок с разминки. Сегодня она будет в другой форме - в виде соревнования. Я задаю вопросы, и кто быстрее поднимет руку, тот и будет отвечать.
1) Портной имеет кусок сукна в 16 м, от которого он ежедневно отрезает по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок? (7 дней)
2) Разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку, и одно осталось в корзине? (Один берет корзину вместе с яблоком)
3) Четыре коровы черной масти и три - рыжей масти за пять дней дали такой же надой молока, как 3 коровы черной масти и 5 рыжей за 4 дня. Какие коровы молочнее: черной или рыжей масти? (рыжей)
4) Как представить цифру 4 тремя пятерками? (4=5-5:5)
5) Шесть ног, а бежит не быстрее, чем на четырех. (всадник на коне)
6) Какие часы показывают верное время только два раза в сутки? (которые остановились)
7) В известной сказке «Поди туда - не знаю куда, принеси то - не знаю что» царь послал стрелка Андрея за «тридевять земель». Тридевять - это сколько? (27)
8) Шел Кондрат в Ленинград, а навстречу 12 ребят.
У каждого по 3 лукошка, в каждом лукошке - кошка.
У каждой кошки - 12 котят. У каждого котенка
В зубах по 4 мышонка. И задумался старый Кондрат:
«Сколько мышат и котят ребята несут в Ленинград?»
Как бы вы ответили на этот вопрос? (Один Кондрат шел в Ленинград)
9) В мешке лежат шарики белого и черного цвета. Сколько нужно взять шариков, чтобы 2 было одинакового цвета? (3)
10) Поехал мужик зимой на ярмарку, а базар далеко. Вот едет он лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем. Встречает Бабу-Ягу и спрашивает: «Куда ехать?» Она ему показывает направо. И вот он снова едет лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем, встречает Лешего. Спрашивает: «Как доехать до базара?» Он показывает налево. Вот он снова едет лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем и выезжает к реке. А за рекой - базар. Как ему перебраться на тот берег, учитывая, что лодки нет и надо переправить весь груз? (Дело было зимой). Молодцы!
|
Отвечают на вопросы.
|
Постановка проблемы.
Мотивация.
|
Предлагает решить задачу. Ставит проблему.
Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?
ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)
Задачи такого типа называются комбинаторными.
Сообщает тему урока.
«Элементы комбинаторики».
|
Слушают преподава-теля, пытаются понять проблему урока.
Записывают тему урока в тетрадях.
|
Объяснение
нового материала.
|
Лекция преподавателя (исторические данные)
Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.
Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в XII веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств - любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях
Раздел комбинаторики, в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторной задачи, теорией перечислений.
Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер.
Комбинаторные задачи делятся на несколько групп. Группы, составленные из каких-либо элементов называются соединениями.
1. Задача:
Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?
abc acb
bac bca
cab cba ответ: 6.
Это задача на перестановки
Перестановками из n элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элеметов.
Pn = n!
Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n! n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
Факториалы растут удивительно быстро (записывает на доске пример):
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n! 1 4 6 24 120 720 5040 40 320 362 880 3 628800
2. Задача.
У нас имеется 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.
Это размещения.
Размещением из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их следования.
Число размещений из n элементов по m обозначаются символом:
А = n!m!
3. Задача.
Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 ответ: 10
Это сочетания.
Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Число сочетаний из n элементов по m обозначают символом
|
Слушают преподава-теля.
Приложение (Презентация «Из истории комбинато-рики»)
Записывают определение в тетрадях. Пользуются учебником математики Н.В. Богомолов,
с. 371
(формулы 16.2, 16.3,16.4, 16.5),
с. 372
Записывают определение в тетрадях. Пользуются учебником математики Н.В. Богомолов, (формула
16.1),
с. 371
Записывают определение в тетрадях. Пользуются учебником математики Н.В. Богомолов,
(формулы16.6, 16.7, 16.8, 16.9, 16.10), с. 372
|
Закрепление полученных знаний.
|
1 Задача.
Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320
2 Задача.
Квартет
Проказница Мартышка
Осёл,
Козёл,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть…
Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?
P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
Задаёт вопрос: какой тип комбинаторной задачи? (перестановки).
3 Задача.
Обучающиеся изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
A =9!/5! = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024
Задаёт вопрос: какой тип комбинаторной задачи? (размещения).
|
Решение у доски. Записывают в тетрадях.
Отвечают на вопрос.
Решение у доски. Записывают в тетрадях.
Отвечают на вопрос.
|
Индиви-дуальная работа. Тест.
|
Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4) 5
2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
1) 128 2) 495 3) 36 4) 48
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1) 10 2) 60 3) 20 4) 30
№ задания 1 2 3
№ ответа 3 2 4
|
Работают на месте.
На экране (Тест).
Взаимопро-верка с помощью мульти-медия, коррекция.
|
Домашнее задание.
|
Раздает карточки с домашним заданием. Поясняет как решить.
1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.
Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?
2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
3. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
4. Проект «История комбинаторики»
|
Слушают преподава-теля.
|
Подведение итогов, рефлексия.
|
Задаёт вопросы обучающимся:
Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?
Решение комбинаторных задач развивает творческие способности.
Области применения комбинаторики:
учебные заведения ( составление расписаний)
-сфера общественного питания (составление меню)
-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
-география (раскраска карт)
-биология (расшифровка кода ДНК)
-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
-криптография (разработка методов шифрования)
-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
-военное дело (расположение подразделений)
Решение задачи с профессиональной направленностью (укроп, петрушка, редис).
Как посадить растения, используя комбинаторные задачи: размещения, перестановки, сочетания?
Как посадить растения с учетом солнца и образования тени (межпредметная связь с физикой).
Какова была цель урока? Достигнута ли она?
Чем обусловлен выбор правила комбинаторики?
Чем обусловлен выбор формулы?
Перспектива последующей работы.
Настрой на позитив:
"МАТЕМАТИКУ - сдам!"
Оцените степень сложности урока
Вам было на уроке:
· легко;
· обычно;
· трудно.
Оцените степень вашего усвоения материала
· повторил весь ранее изученный материал;
· усвоил полностью, могу применить;
· усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
· усвоил частично;
· не усвоил.
|
Отвечают с места.
Выходят к доске и показывают применение формул на комбинато-рику.
Отвечают с места.
Отмечают в карточках.
|
Литера-тура.
|
1. Факультативный курс по теме: Элементы комбинаторики
Автор: Лузина Татьяна Юрьевна.
2. «Математика» 1 сентября №1 2012г
И.Р. Высоцкий «В10 –вероятность»
3. А.Л.Семенов, И.В.Ященко
«ЕГЭ 2012. Типовые тестовые задания»
4. А.Л. Семёнов, И.В.Ященко
«ЕГЭ-2012. Математика. Типовые варианты. 30 вариантов»
5. И.Р. Высоцкий, Ященко
«ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Рабочая тетрадь»
6. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
«Математика. Элементы теории вероятностей и статистики.
Подготовка к ЕГЭ-2012»
Электронные ресурсы:
Открытый банк заданий по математике
mathege.ru/or/ege/Main
СтатГрад МИОО
klasnaocinka.com.ua/ru/article/urok--po-teme-elementi-kombinatoriki-perestanovki-.html
|
|
Разработала: Смирнова Ирина Николаевна, ОГАОУ СПО "Вейделевский агротехнологический техникум"
|